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ENCYCLOPÉDIE DE LA RADIOÉLECTRONIQUE ET DU GÉNIE ÉLECTRIQUE Calcul des filtres RC. Encyclopédie de l'électronique radio et de l'électrotechnique
Encyclopédie de l'électronique radio et de l'électrotechnique / Radioamateur débutant Considérons les circuits sélectifs ou sélectifs en fréquence qui ont un effet de filtrage, c'est-à-dire les signaux avec certaines fréquences transmettent mieux, avec d'autres - pire. Parfois, cette propriété des circuits est nocive, par exemple dans les amplificateurs audio de haute qualité, où ils s'efforcent d'atteindre la bande passante la plus large possible. Et parfois, cela est utile, par exemple, dans les récepteurs radio, lorsqu'à partir d'une masse de signaux provenant de stations de radio fonctionnant à différentes fréquences, vous devez isoler le signal d'une seule, diffusant sur une fréquence que vous connaissez. Les circuits de filtrage (filtres) doivent nécessairement contenir des éléments réactifs - capacité et/ou inductance, puisque la résistance active des résistances ne dépend pas de la fréquence (dans le cas idéal). En réalité, il existe toujours des capacités et inductances parasites (installation, cordons, jonctions p-n, etc.), donc presque tous les circuits s'avèrent être un filtre à un degré ou à un autre, c'est-à-dire que ses paramètres dépendent de la fréquence. Tout d'abord, regardons les chaînes RC les plus simples. En figue. La figure 28a montre un schéma d'un simple filtre passe-bas (LPF), qui laisse passer les basses fréquences et atténue les hautes fréquences.
Le coefficient de transmission est le rapport K = Uout/Uin (plus précisément, c'est le module, ou la valeur absolue du coefficient de transmission). Calculons-le en utilisant les informations que nous connaissons déjà sur les circuits à courant alternatif. Le courant dans le circuit est :
et la tension de sortie est égale à la chute de tension aux bornes du condensateur C :
En remplaçant le courant, on trouve
Le coefficient de transmission s'est avéré complexe. Cela signifie que la tension de sortie du filtre est déphasée par rapport à l'entrée. Pour souligner la nature complexe de K, il est souvent noté K(jω). Trouvons le module (valeur absolue) et l'argument (phase) K
L'amplitude et la phase du gain dépendent de la fréquence ou sont considérées comme des fonctions de la fréquence. Un signe négatif de l'argument indique que la phase du signal de sortie est en retard par rapport à la phase du signal d'entrée. Si vous tracez leurs graphiques, vous obtiendrez les caractéristiques amplitude-fréquence et phase-fréquence du filtre (AFC et PFC), illustrées à la Fig. 28,6 et en respectivement. Le filtre fonctionne comme suit. Aux fréquences les plus basses, la capacité du condensateur est élevée et le signal est transmis de l'entrée à la sortie sans pratiquement aucune atténuation via la résistance R. À mesure que la fréquence augmente, la capacité diminue et le circuit agit comme un diviseur de tension. A la fréquence de coupure ωc, la réactance capacitive est égale à la réactance active, et ωcRC = 1. Cependant, le module K n'est pas égal à 1/2, comme ce serait le cas pour les résistances actives, mais est 1/V2 = 0,7. , comme le montre le diagramme vectoriel de tension (Fig. 28, d). Le déphasage introduit par la chaîne à la fréquence de coupure est de 45° - c'est le retard de la phase du signal de sortie par rapport à la phase de l'entrée. Avec une nouvelle augmentation de la fréquence, le module du coefficient de transmission diminue proportionnellement à la fréquence et le déphasage tend vers -90°. Souvent, pour simplifier les calculs, la notation RC = τ est introduite. (constante de temps de chaîne), ωRC = ω/ωс = x (fréquence généralisée). Le coefficient de transmission dans ces notations s'écrit tout simplement :
Il est conseillé de revenir aux désignations précédentes seulement après avoir effectué tous les calculs. Dans notre analyse, nous avons tacitement supposé que le circuit est alimenté par un oscillateur avec une très faible résistance interne et que sa sortie est déchargée. En réalité, la source de signal a toujours une résistance interne R1, et si elle est active, il suffit de l'ajouter à R. De même, si la charge a une capacité CH, il suffit de l'ajouter à C. Si la charge a une capacité CH, il suffit de l'ajouter à C. a une résistance active RH, alors le module K est déjà aux fréquences les plus basses, où l'influence de la capacité peut être négligée, sera inférieure à l'unité et sera (on calcule simplement selon la loi d'Ohm) RH/(R + RH ). La fréquence de coupure augmentera également et, comme cela peut être facilement calculé de la manière décrite ci-dessus, ne sera plus
où R' est la résistance obtenue en connectant R et Rn en parallèle. Voici un exemple d’application pratique des informations présentées. L'amplificateur vidéo TV doit transmettre une bande de fréquence de 6 MHz et fonctionne sur une charge capacitive constituée de la capacité de sortie du transistor Cm, de la capacité de montage Cm et de la capacité interélectrode de la grille de contrôle du kinéscope Ck (Fig. 29, a ). Leur somme peut être estimée avec une sorte de capacimètre (bien sûr, avec le téléviseur éteint !) ou à l'aide de données de référence. Soit 25 pF - ce sera la capacité du circuit RC considéré. La résistance R du circuit est obtenue en connectant en parallèle la résistance interne du transistor (générateur de signal) et la résistance de charge Rн. La première peut être trouvée à partir des caractéristiques du collecteur du transistor, en prenant un petit incrément ΔUк proche de la tension de fonctionnement du collecteur Uк et en trouvant l'incrément de courant correspondant ΔIк
Habituellement, la résistance interne est bien supérieure à la résistance de charge, on peut alors considérer R = Rн. Trouvons la résistance de charge admissible en fonction de la chute de la réponse en fréquence à 0,7 (de 3 dB) à une fréquence de 6 MHz. La fréquence de coupure angulaire sera
(rassembler). Puisque RC = 1 /ωс,
Naturellement, nous aimerions choisir une résistance de charge plus grande, ce qui augmentera le gain et réduira le courant consommé par le transistor, mais cela ne peut pas être fait en raison du blocage des fréquences supérieures du spectre vidéo, ce qui entraînera une perte de la clarté de l'image.
Pour le plaisir, continuons le calcul. Supposons qu'un signal d'une amplitude allant jusqu'à 50 V soit appliqué à la grille du kinéscope, le courant du transistor doit alors être de 50 mA. La résistance de charge chutera également de 50 V, la tension de la source d'alimentation doit être d'au moins 100 V et la résistance de charge libérera une puissance de 50 V - 50 mA = 2,5 W. La même puissance sera dissipée par le transistor. La caractéristique de charge pour ce cas est représentée sur la Fig. 29, b ainsi que des diagrammes de tension et de courant (qui, en télévision, il convient de le noter, sont rarement sinusoïdaux). Il devrait maintenant être clair pourquoi l'étage de sortie de l'amplificateur vidéo est constitué d'un transistor puissant et une résistance puissante est placée dans la charge, bien que le kinéscope ne consomme aucune énergie via le circuit de l'électrode de commande (grille). Pour améliorer d'une manière ou d'une autre la situation, de nombreuses façons ont été inventées. L'un d'eux consiste à corriger la réponse en fréquence en connectant en série avec la charge une bobine avec une petite inductance (Fig. 29, a), sélectionnée de manière à ce qu'elle résonne avec la capacité totale C quelque part à la fréquence de coupure ou légèrement supérieure. Le circuit oscillant résultant avec un facteur de qualité très faible (pas plus de 1...1.5) contribue à une augmentation de la réponse en fréquence proche de la fréquence de coupure. En figue. 29, la ligne continue montre la réponse en fréquence de l'amplificateur avant correction, correspondant à la réponse en fréquence d'un simple circuit RC, et la ligne pointillée montre la réponse en fréquence après avoir activé l'inductance. De cette manière, la bande passante des fréquences transmises est augmentée de 1,5 à 2 fois, ou le gain et l'efficacité de la cascade sont augmentés du même montant. Le rétrécissement décrit de la bande passante par le haut se produit dans chaque étage d'amplificateur, ce qui doit être pris en compte lors de la conception d'amplificateurs à plusieurs étages. Par exemple, dans le cas de deux cascades identiques, la pente de réponse en fréquence dans chacune ne doit pas dépasser 0,84 (0,842 = 0,7), dans le cas de trois - pas plus de 0,89. Parfois, notamment dans les amplificateurs vidéo, des « petites astuces » sont utilisées : l'étage préliminaire, dans lequel les capacités interélectrodes et l'oscillation de tension de sortie sont plus petites, est conçu à large bande, avec une augmentation de la réponse en fréquence aux hautes fréquences, compensant la diminution de la réponse en fréquence dans l'étage de sortie. La chaîne décrite (voir Fig. 28, a) est appelée filtre passe-bas lorsque ses caractéristiques de fréquence sont prises en compte, et elle est également appelée intégratrice lorsque le passage d'un signal d'impulsion est pris en compte. Laissez agir une chute de tension avec un front court à l'entrée de la chaîne (Fig. 30). La tension de sortie n'augmentera pas immédiatement, car le condensateur a besoin de temps pour se charger avec le courant limité par la résistance R.
Ce n'est qu'au premier instant après l'impact de la différence que le courant sera égal à UBX/R, puis il diminuera à mesure que la tension aux bornes du condensateur augmente. En créant une équation différentielle pour la tension de sortie et en la résolvant, nous pouvons établir que
où e est la base des logarithmes naturels. Pendant le temps τ = RC, la tension de sortie augmente jusqu'à environ 0,63 de la valeur d'entrée puis s'en rapproche asymptotiquement. Ainsi, la chaîne d'intégration « submerge » les bords abrupts du signal, ce qui explique d'ailleurs la diminution de la clarté de l'image de télévision. Passons aux filtres passe-haut (HPF), dont le plus simple (chaîne RC différenciatrice) est représenté sur la Fig. 31, a. Le coefficient de transmission s'exprime désormais comme suit :
La réponse en fréquence de la chaîne est représentée sur la Fig. 31, b. La formule pour la fréquence de coupure reste la même. La réponse en phase est également la même, mais le signe de φ change : la phase du signal de sortie est en avance sur la phase du signal d'entrée. Il est proche de 90° aux fréquences les plus basses et s'approche de zéro aux hautes fréquences (le graphique de la figure 28c suffit pour remonter de 90° le long de l'axe φ). En fait, toutes les expressions du filtre passe-haut sont obtenues à partir des formules du filtre passe-bas en remplaçant la fréquence généralisée x par -1/x', qui est très souvent utilisée lors du calcul de filtres. La réponse impulsionnelle de la chaîne est représentée sur la Fig. 32. C'est en quelque sorte l'inverse de la précédente - la tension de sortie augmente brusquement, mais diminue ensuite selon une loi exponentielle conformément à la vue. Sur un temps égal à la constante de temps de la chaîne t, elle diminue jusqu'à 0,37 de l'entrée, au cours de l'intervalle suivant t - encore une fois jusqu'à 0,37 et ainsi de suite (en passant, c'est une bonne règle pour tracer les exponentielles - pour chaque division horizontale, la coordonnée verticale de la courbe doit augmenter ou diminuer de la même pourcentage). Presque chaque chaîne RC de séparation inter-étages est un filtre passe-haut décrit. Même s'il n'y a pas de résistance explicite R, c'est la résistance d'entrée de l'étage connecté derrière le condensateur de couplage. Si l'on tient également compte du fait que la capacité parasite à la sortie de l'étage forme un filtre passe-haut, alors il devient clair que tout étage amplificateur limite la bande passante des fréquences transmises à la fois par le bas et par le haut, c'est-à-dire qu'il s'agit d'un filtre passe-bande. . Pour les impulsions rectangulaires traversant l'étage amplificateur, les fronts raides sont lissés (action de filtre passe-bas) et le sommet tombe (action de filtre passe-haut). Pour augmenter l'effet de filtrage des circuits RC, plusieurs d'entre eux sont connectés en série les uns après les autres, et afin d'éviter que les chaînes ne soient shuntées par les suivantes, elles sont séparées par des étages d'amplification intermédiaires sur transistors. Parfois, dans le même but, des chaînes ultérieures avec une plus grande résistance sont choisies. Cependant, dans tous les cas, la réponse en fréquence des filtres dans la région de la fréquence de coupure s'avère très plate. Des filtres actifs, dans lesquels l'élément amplificateur (transistor) lui-même sert d'élément filtrant, peuvent corriger la situation. En figue. 33 montre un schéma d'un filtre passe-bas actif (Sallen-Key). L'élément actif qu'il contient doit avoir un gain unité et ne pas inverser le signal. De plus, des impédances d’entrée élevées et de faibles impédances de sortie sont requises. Ces exigences sont satisfaites par un suiveur de transistor (source) à base de transistor ou (mieux) un amplificateur opérationnel, dont l'entrée inverseuse est connectée à la sortie. Les résistances sont généralement sélectionnées avec la même résistance et la capacité du condensateur C2 est 2 à 2,5 fois inférieure à la capacité C1. Fréquence de coupure du filtre
Le filtre fonctionne comme ceci. Aux fréquences inférieures à la fréquence de coupure des circuits RC, la tension de sortie répète pratiquement la tension d'entrée et le condensateur C1 est désactivé, car ses deux plaques ont le même potentiel. Le signal est transmis sans atténuation. À mesure que la fréquence augmente, RC2 entre en jeu et la tension de sortie diminue. Ensuite, le circuit RC1 entre également en vigueur, affaiblissant encore davantage le signal de sortie. En conséquence, une forte baisse de la réponse en fréquence se forme au-dessus de la fréquence de coupure. En modifiant le rapport des capacités C1 et C2, vous pouvez obtenir une réponse en fréquence douce et décroissante de manière monotone dans la bande passante (filtre Butterworth), et vous pouvez même former une certaine élévation avant la fréquence de coupure (filtre Chebyshev). Après avoir formé une telle montée (courbe 1 sur la Fig. 34), il est conseillé d'ajouter un autre lien passif (courbe 2), qui compensera la montée et rendra la pente de la réponse en fréquence derrière la fréquence de coupure encore plus raide (courbe 3) - |K| diminuera de 8 fois avec une fréquence multipliée par deux. Le résultat est un filtre de troisième ordre avec une pente de 18 dB par octave. A titre d'exemple sur la Fig. La figure 35 montre un schéma d'un tel filtre passe-bas avec une fréquence de coupure de 3 kHz. Le filtre peut être facilement ajusté à d'autres fréquences en modifiant les valeurs de tous les condensateurs en proportion inverse de la fréquence. Un filtre passe-haut avec des caractéristiques similaires est obtenu en échangeant les résistances et les condensateurs et en modifiant leurs valeurs en conséquence. À propos de l'ordre des filtres : il est déterminé par le nombre d'éléments réactifs du filtre, et l'inclinaison de la pente de la réponse en fréquence dépend de l'ordre. Ainsi, les liaisons du premier ordre (Fig. 28,a et 31,a) affaiblissent le signal de 2 fois avec un double changement de fréquence (6 dB/oct.), le filtre du second ordre (Fig. 33) - par 4 fois (12 dB/oct.) oct.), filtre de troisième ordre (Fig. 35) - 8 fois (18 dB/oct.).
Question pour l'autotest. Certains amplificateurs 20H de haute qualité (bande passante 20 Hz... 3 kHz) ont une impédance d'entrée de 100 kOhm, la source du signal a la même impédance de sortie. Ils sont reliés par un câble blindé d'une capacité linéaire de 100 pF/m. La longueur du câble est de 3,2 M. De plus, un condensateur de séparation d'une capacité de 0,01 μF est inclus à l'entrée de l'amplificateur. Tout a-t-il été fait correctement, quelle sera la bande de fréquence réelle et que faut-il faire pour corriger la situation ? réponse. Dessinons un circuit équivalent (Fig. 63) contenant une source de signal G1 avec une résistance interne r, un câble avec une capacité C1, un condensateur d'isolement C2 et la résistance d'entrée de l'amplificateur R1.
Les hautes fréquences sont atténuées par la capacité du câble, en parallèle avec laquelle la résistance d'entrée R1 et la résistance interne de la source de signal r sont connectées. Le condensateur de couplage C2 aux hautes fréquences a une résistance négligeable et peut être ignoré. La connexion de deux résistances de 100 kOhm en parallèle donne une valeur totale de 50 kOhm. La capacité du câble C1 est de 100 pF/m x 3,2 m = 320 pF. En utilisant la formule fc= 1/2πRC nous déterminons la fréquence supérieure de la bande passante : f B = 1/6,28 320 10- 12-50 103 = 104 Hz = 10 kHz. Pour l'augmenter à 20 kHz, il faut soit raccourcir le câble de moitié, soit sélectionner un câble avec la moitié de la capacité linéaire, soit baisser l'impédance de sortie de la source de signal à environ 30 kOhm pour que la résistance totale connectée en parallèle au câble n'est pas 50, mais 25 kOhm. Cette dernière méthode est préférable, car elle augmente également la tension à l'entrée de l'amplificateur. En effet, si les résistances de la source de signal et de l'amplificateur sont égales, cela représente la moitié de la force électromotrice de la source, et lorsque la résistance de la source de signal est réduite à 30 kOhm, elle atteindra 75 % de la force électromotrice de la source. C'est pour cette raison que des cathodes, des émetteurs ou des suiveurs de source à faible impédance de sortie sont souvent installés à la sortie des sources de signaux fonctionnant sur de longs câbles de connexion. Calculons maintenant la fréquence limite inférieure de la bande passante. Elle est déterminée par le condensateur d'isolement C2 (0,01 μF) et la résistance totale de la source de signal et de l'entrée de l'amplificateur connectées en série (r+R1 = 100+100 = 200 kOhm). En utilisant la même formule, on calcule la fréquence de coupure de cette chaîne RC (HPF) : fH = 1/2πRC = 1/6,28 2 105· 10-8 = 80 Hz. Pour abaisser la fréquence de coupure à 20 Hz, la capacité du condensateur de couplage doit être augmentée au moins 4 fois. La valeur de capacité standard la plus proche est de 0,047 µF. Si, conformément à la recommandation ci-dessus, la résistance de sortie de la source de signal r est réduite à 30 kOhm, alors la résistance totale de la chaîne de filtres passe-haut sera r + R1 = 30 + 100 = 130 kOhm, et la valeur requise la capacité du condensateur de couplage sera égale à : C \u1d 2 / 1πf HR \u6,28d 20 / 1,3 10 XNUMX-XNUMX5= 0,07 uF. Auteur : V. Polyakov, Moscou
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