Fondamentaux des mathématiques booléennes. Schéma, description

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Fondamentaux des mathématiques booléennes. Encyclopédie de l'électronique radio et de l'électrotechnique

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Encyclopédie de l'électronique radio et de l'électrotechnique / Radioamateur débutant

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L'analyse des dispositifs combinatoires et des circuits logiques numériques s'effectue le plus facilement à l'aide des mathématiques booléennes, qui fonctionnent avec seulement deux concepts : vrai (logique 1) et faux (logique 0). Par conséquent, les fonctions qui affichent des informations ne prennent à un moment donné que les valeurs 0 ou 1. Ces fonctions sont appelées fonctions logiques. Les fonctions logiques Y de plusieurs variables (X0, X1, ..., Xn-1) déterminent la nature des opérations logiques, à la suite desquelles la variable Y est affectée à un ensemble de variables d'entrée

Y=f(X0, X1, ..., Xn-1).

La fonction de transformation est le plus clairement caractérisée par une table, dans les rangées de laquelle chaque combinaison de variables d'entrée X correspond à la valeur de la variable Y. C'est ce qu'on appelle une table de vérité.

X1	X2	*Y=X1X2**
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Les principales fonctions logiques sont la multiplication logique (conjonction), l'addition logique (disjonction) et la négation logique (inversion). Dans la multiplication logique, les variables d'entrée (deux ou plus) sont reliées par une union ET. Cette opération est notée /\ ou le signe de multiplication (*). La fonction Y1=X1*X2 ne prend la valeur de 1 logique que si toutes les variables d'entrée sont égales à 1. Si au moins une variable est égale à 0, alors la fonction de sortie est égale à 0 (tableau 1).

En plus logique, deux déclarations ou plus sont reliées par l'union OU (OU). Cette opération est indiquée par le symbole \/ ou le signe d'addition (+) La table de vérité pour la disjonction ressemble à ceci.

X1	X2	*Y=X1X2**
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

L'énoncé (X1 + X2) est vrai si au moins un des énoncés qu'il contient est vrai.

Avec la négation logique, la fonction est NOT (NOT), la valeur de la fonction de sortie est opposée à la variable d'entrée (tableau 3). Cette opération est notée X (lire "PAS X").

X	Y=-X
0	1
1	0

La conjonction, la disjonction et l'inversion peuvent exprimer toute autre opération plus complexe sur des énoncés. Par conséquent, le système de fonctions Y1=X1*X2, Y2=X1+X2 et Y3=-X a une complétude fonctionnelle. À titre d'exemple, considérons plusieurs fonctions mises en œuvre à l'aide d'éléments de technologie informatique. L'équivalence (ou équivalent) est la fonction Y de deux arguments X1 et X2, qui prend la valeur=1 lorsque X1=X2=1 ou lorsque X1=X2=0. Pour différentes valeurs des arguments X1≠X2, la valeur de la fonction Y=0. On peut montrer que la fonction Y a la forme Y=X1*X2+(-X1)*(-X2), ce qui est confirmé en remplaçant les valeurs correspondantes des arguments dans l'expression. L'inéquivalence est une fonction Y à deux arguments X1 et X2, qui prend la valeur 1 pour X1≠X2, et la valeur 0 pour X1=X2=0 ou,. à X1=X2=1. Dans ce cas, nous aurons Y=X1*X2+X1*X2. L'opération d'inégalité est souvent appelée sommation modulo 2 et notée Y=X1(+)X2. Il existe également des systèmes fonctionnellement complets constitués d'une seule fonction. Il s'agit notamment des fonctions ET-NON (Y= -(X1*X2) et OU-NON (Y=-(X1+X2)), largement utilisées dans la modélisation des appareils numériques. X1 et X2.

X1	X2	*Y=-(X1X2)**	Y=-(X1+X2)
0	0	1	1
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	0

Les mathématiques booléennes permettent de transformer des formules décrivant des énoncés complexes afin de les simplifier. Cela aide en fin de compte à déterminer la structure optimale d'un appareil numérique particulier qui implémente toute fonction complexe. Sous la structure optimale, il est habituel de comprendre la construction d'un dispositif dans lequel le nombre d'éléments entrant dans sa composition est minimal.

Auteur : -=GiG=-, gig@sibmail ; Publication : cxem.net

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