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DÉCOUVERTES SCIENTIFIQUES LES PLUS IMPORTANTES
Logarithmes. Histoire et essence de la découverte scientifique
Annuaire / Les découvertes scientifiques les plus importantes Tout au long du XVIe siècle, le nombre de calculs approximatifs augmente rapidement, principalement en astronomie. L'étude des mouvements planétaires nécessitait des calculs colossaux. Les astronomes pourraient tout simplement se noyer dans des calculs impossibles. Des difficultés évidentes sont apparues dans d'autres domaines, tels que la finance et les assurances. La principale difficulté était la multiplication et la division de nombres à plusieurs chiffres, en particulier les quantités trigonométriques. Parfois, des tables de sinus et de cosinus étaient utilisées pour réduire la multiplication à une addition et une soustraction plus faciles. Un tableau des carrés jusqu'à 100 000 a également été compilé, à l'aide duquel la multiplication pouvait être effectuée selon une certaine règle. Cependant, ces méthodes n'apportaient pas de solution satisfaisante au problème. Ils lui ont apporté des tables de logarithmes. "La découverte des logarithmes était basée sur les propriétés des progressions, bien connues à la fin du XVIe siècle", écrivent M.V. Chirikov et A.P. Yushkevich. "Le lien entre les membres de la profession géométrique et la progression arithmétique a été noté plus d'une fois par mathématiciens ; cela a été discuté dans le « Psammit » Archimède. Un autre préalable était l'extension de la notion de degré aux exposants négatifs et fractionnaires, ce qui a permis de transférer le lien qui vient d'être évoqué à un cas plus général... De nombreux auteurs ont souligné que multiplication, division, exponentiation et extraction de racine en progression géométrique correspondent en arithmétique - dans le même ordre - addition, soustraction, multiplication et division. L'idée du logarithme d'un nombre comme indicateur de la puissance à laquelle il faut élever une base donnée pour obtenir ce nombre était déjà cachée ici. Il restait à transférer les propriétés familières d'une progression avec un terme commun à d'éventuels exposants réels. Cela donnerait une fonction exponentielle continue qui prend n'importe quelle valeur positive, ainsi que son inverse logarithmique. Mais cette idée d’une profonde signification fondamentale a été développée plusieurs décennies plus tard. Les logarithmes ont été inventés indépendamment l'un de l'autre par Napier et Burgi une dizaine d'années plus tard. Leur objectif en était un : le désir de fournir un nouveau moyen pratique de calculs arithmétiques. L’approche s’est avérée différente. Napier a exprimé cinématiquement la fonction logarithmique, ce qui lui a permis d'entrer essentiellement dans le domaine presque inexploré de la théorie des fonctions. Bürgi est resté sur la base d’envisager des progressions discrètes. Il convient de noter que tous deux avaient une définition du logarithme différente de la définition moderne. Le premier inventeur des logarithmes, le baron écossais John Napier (1550-1617), a fait ses études chez lui à Édimbourg. Puis, après avoir parcouru l'Allemagne, la France et l'Espagne, à l'âge de vingt et un ans, il s'installe définitivement dans le domaine familial près d'Édimbourg. Napier a abordé principalement la théologie et les mathématiques, qu'il a étudiées à partir des œuvres d'Euclide, Archimède, Regiomontanus, Copernic. "À la découverte des logarithmes", notent Chirikov et Yushkevich, "Neper est venu au plus tard en 1594, mais seulement vingt ans plus tard, il a publié sa" Description de l'étonnante table des logarithmes "(1614), qui contenait la définition des logarithmes de Neper, leurs propriétés et tableaux de logarithmes des sinus et cosinus de 0 à 90 degrés avec un intervalle de 1 minute, ainsi que les différences de ces logarithmes, donnant les logarithmes des tangentes.Il a exposé les conclusions théoriques et les explications de la méthode de calcul la table dans un autre ouvrage, préparé probablement avant la "Description", mais publié à titre posthume, dans "Construire une étonnante tables de logarithmes "(1619). Mentionnons que dans les deux ouvrages, Napier considère également certaines questions de trigonométrie. Particulièrement connus sont les "analogies" pratiques pour le logarithme, c'est-à-dire les proportions de Napier utilisées pour résoudre des triangles sphériques sur deux côtés et l'angle entre eux, ainsi que sur deux coins et le côté qui leur est adjacent. Dès le début, Napier a introduit le concept de logarithme pour toutes les valeurs de quantités trigonométriques en constante évolution - sinus et cosinus. Dans l’état des mathématiques d’alors, lorsqu’il n’existait pas d’appareil analytique pour le calcul infinitésimal, le seul et naturel moyen d’y parvenir était la définition cinématique du logarithme. Peut-être que les traditions remontant à l’école d’Oxford du XIVe siècle n’ont pas été laissées ici sans influence. La définition de Napier du logarithme est basée sur l'idée cinématique, qui généralise aux quantités continues le lien entre la profession géométrique et la progression arithmétique des indicateurs de ses membres. Napier a présenté la théorie des logarithmes dans l'ouvrage "Construction of amazing tables of logarithms", publié à titre posthume en 1619 et réédité en 1620 par son fils Robert Napier. En voici des extraits : "La table des logarithmes est une petite table avec laquelle on peut connaître, au moyen de calculs très faciles, toutes les dimensions géométriques et tous les mouvements. On l'appelle justement petite, car elle surpasse en volume les tables des sinus, très facile, car avec son aide toutes les multiplications complexes, divisions et extractions de racines, et tous les chiffres et mouvements en général, sont mesurés en faisant l'addition, la soustraction et la division par XNUMX les plus faciles. Il est composé de nombres en proportion continue. 16. Si d'un sinus complet auquel sept zéros sont ajoutés, vous soustrayez sa 10000000ème partie, et du nombre ainsi obtenu - sa 10000000ème partie, et ainsi de suite, alors cette série peut facilement être continuée jusqu'à cent nombres dans la relation géométrique qui existe entre le sinus complet et le sinus, inférieur à lui d'un, soit entre 10000000 et 9999999, et nous appellerons cette série de proportionnels la Première Table. 17. Le deuxième tableau découle du sinus complet avec six zéros ajoutés jusqu'à cinquante autres nombres diminuant proportionnellement dans un rapport qui est le plus simple et peut-être le plus proche du rapport entre le premier et le dernier nombre du premier tableau. Puisque les premier et dernier nombres de la Première Table sont 10000000.0000000 et 9999900.004950, il est difficile de former cinquante nombres proportionnels à cet égard. Un rapport proche et en même temps simple est de 100000 99999 à 100000 9995001.222927, qui peut être poursuivi avec une précision suffisante en ajoutant six zéros au sinus complet et en soustrayant successivement sa XNUMX XNUMXe partie de la précédente. Ce tableau contient, en plus du sinus complet, qui est le premier nombre, une autre cinquantaine de nombres proportionnels, dont le dernier (si vous ne vous trompez pas) sera XNUMX. 18. La troisième table se compose de soixante-neuf colonnes, et dans chaque colonne il y a vingt et un nombres, suivant dans une relation qui est la plus simple et aussi proche que possible de la relation existant entre les premiers et les derniers membres de la deuxième table . Par conséquent, sa première colonne peut être très facilement obtenue à partir du sinus complet avec cinq zéros ajoutés et des nombres suivants en leur soustrayant la 2000e partie. 19. Les premiers nombres de toutes les colonnes découlent du sinus parfait auquel sont ajoutés quatre zéros dans une relation la plus simple et la plus proche de la relation existant entre le premier et le dernier nombre de la première colonne... 20. Dans le même rapport, une progression doit être formée à partir du deuxième nombre de la première colonne pour les deuxièmes nombres de toutes les colonnes, et du troisième pour la troisième, et du quatrième pour la quatrième, et en conséquence du reste pour le reste. Ainsi, à partir de n'importe quel nombre de la colonne précédente, en soustrayant sa centième partie, on obtient un nombre du même ordre dans la colonne suivante... 21 .... ces trois tables (après qu'elles aient été compilées) suffisent pour calculer la table des logarithmes." En 1620, le Suisse Joost Burgi (1552-1632), mécanicien et horloger hautement qualifié, publia le livre « Tables de progressions arithmétiques et géométriques, accompagnées d'instructions détaillées sur la manière de les comprendre et de les appliquer utilement dans toutes sortes de calculs ». (1620). Comme Burgi lui-même l'a écrit, il est parti de considérations sur la correspondance entre la multiplication en progression géométrique et l'addition en arithmétique. Le problème était de choisir une progression avec un dénominateur suffisamment proche de un pour que ses termes se succèdent à des intervalles suffisamment petits pour des calculs pratiques. Cependant, les tables de Bürgi n'ont pas reçu de distribution significative. Ils ne pouvaient pas rivaliser avec les tables de Napier, qui étaient plus pratiques et déjà largement connues à cette époque. Ni Napier ni Burga n'avaient, à proprement parler, une base de logarithmes, puisque le logarithme de l'unité diffère de zéro. Et bien plus tard, alors que nous étions déjà passés aux logarithmes décimaux et naturels, la définition du logarithme comme indicateur du degré d'une base donnée n'avait pas encore été formulée. Il apparaît dans les manuels pour la première fois, probablement dans W. Gardiner (1742). Cependant, Gardiner lui-même a utilisé les papiers du professeur de mathématiques W. Jones. La large diffusion de la définition moderne du logarithme a été plus que d'autres favorisée par Euler, qui a utilisé le terme "fondation" à cet égard. Le terme « logarithme » appartient à Napier, il est issu de la combinaison des mots grecs « rapport » et « nombre », et signifie « nombre d'un rapport ». Bien qu'au départ Napier ait utilisé un terme différent - « nombres artificiels ». Les tables de Napier, adaptées aux calculs trigonométriques, étaient peu pratiques pour les opérations avec des nombres donnés. Pour éliminer ces lacunes, Napier a proposé de compiler des tables de logarithmes, en prenant zéro pour le logarithme de un et un seul pour le logarithme de dix. Il fit cette proposition lors d'une discussion avec Henry Briggs (1615-1561), professeur de mathématiques au Gresh College de Londres, qui lui rendit visite en 1631, et qui réfléchit lui-même à la manière d'améliorer les tables de logarithmes. En raison d'une santé défaillante, Napier n'a pas pu s'engager dans la mise en œuvre de son plan, mais il a indiqué l'idée de deux méthodes de calcul développées plus avant par Briggs. Briguet publie les premiers résultats de ses calculs minutieux - "Les mille premiers logarithmes" (1617) l'année de la mort de Napier. On y donne les logarithmes décimaux des nombres de 1 à 1000 à quatorze chiffres. Briguet trouve la plupart des logarithmes décimaux des nombres premiers en extrayant les racines carrées. Plus tard, déjà professeur à Oxford, il publie Logarithmic Arithmetic (1624). Le livre contenait des logarithmes à quatorze chiffres de nombres de 1 à 20 000 et de 90 000 à 100 000. Le vide restant a été comblé par le libraire et mathématicien néerlandais Andrian Flakk (1600–1667). Un peu plus tôt, des tables décimales à sept chiffres des logarithmes des sinus et des tangentes ont été calculées par le collègue de Briggs au Gresham College, diplômé de l'Université d'Oxford, Edmund Gunter (1581-1626), qui les a publiées dans le Code of Triangles (1620). La découverte de Napier dans les toutes premières années a acquis une popularité exceptionnellement large. De nombreux mathématiciens se sont attelés à la compilation des tables logarithmiques et à leur amélioration. Alors, Kepler à Marburg, en 1624-1625, il appliqua les logarithmes à la construction de nouvelles tables des mouvements planétaires. Dans l'annexe de la deuxième édition de Napier's Description (1618), plusieurs logarithmes naturels ont été calculés. Ici vous pouvez voir une approche pour introduire une limite. Très probablement, cet ajout appartient à V. Otred. Bientôt, le professeur de mathématiques londonien John Spadell publia des tableaux de logarithmes naturels de nombres de 1 à 1000. Le terme « logarithmes naturels » fut introduit par P. Mengoli (1659), et un peu plus tard par N. Mercator (1668). L'importance pratique des tables calculées était très grande. Mais la découverte des logarithmes avait aussi une signification théorique profonde. Il a donné vie à des recherches dont les premiers inventeurs ne pouvaient même pas rêver, poursuivant le seul but de faciliter et d'accélérer les calculs arithmétiques et trigonométriques avec de grands nombres. La découverte de Napier, en particulier, ouvrit la voie au domaine de nouvelles fonctions transcendantales et donna de puissantes impulsions au développement de l'analyse. Auteur : Samin D.K.
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