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DÉCOUVERTES SCIENTIFIQUES LES PLUS IMPORTANTES
Théorie des groupes. Histoire et essence de la découverte scientifique
Annuaire / Les découvertes scientifiques les plus importantes Les groupes de permutation de racines ont été traités plus tôt par Lagrange et Gauss. Mais le mérite de celui qui a formulé les propriétés essentielles des concepts et les a appliquées à la solution de problèmes nouveaux et difficiles est indiscutable. C'est ce qu'a fait le mathématicien français Galois pour le concept de groupe. Ce n'est qu'après ses travaux qu'il est devenu un sujet d'étude pour les mathématiciens. Évariste Galois (1811-1832) est né à Bourg-la-Reine. En 1823, les parents d'Evariste l'envoient étudier au Collège Royal de Paris. Ici, il s'est intéressé aux mathématiques et a commencé à étudier de manière indépendante les œuvres de Legendre, Euler, Lagrange, Gauss. Les idées de Lagrange prennent complètement le dessus sur Galois. Il lui semble, comme jadis à Abel, qu'il a trouvé une solution à l'équation du cinquième degré. Il tente sans succès d'entrer à l'École polytechnique, mais la connaissance des œuvres de Legendre et de Lagrange ne suffit pas, et Galois retourne au collège. Ici, le bonheur sourit pour la première fois - il rencontre un professeur qui a su apprécier son génie. Richard a su s'élever au-dessus des programmes officiels, il était au courant des progrès des sciences et cherchait à élargir les horizons de ses élèves. Les commentaires de Richard à propos d'Evariste sont simples : « Il ne travaille que dans les domaines supérieurs des mathématiques. En effet, déjà à l'âge de dix-sept ans, Galois reçoit les premiers résultats scientifiques. En 1829, sa note "Preuve d'un théorème sur les fractions continues périodiques" est publiée. Parallèlement, Galois présente un autre ouvrage à l'Académie des sciences de Paris. Elle s'est perdue chez Kosha. Galois tente de réintégrer l'Ecole Polytechnique, et échoue à nouveau. A cela s'ajoute bientôt un événement qui choque le jeune homme : pourchassé par des opposants politiques, son père se suicide. Les malheurs qui s'abattent sur Evariste l'affectent inévitablement : il devient nerveux et colérique. En 1829, Galois entre à l'école normale. Il préparait les candidats au titre d'instituteur. Ici, Evarist a terminé une étude sur la théorie des équations algébriques et a soumis son travail au concours de l'Académie des sciences de Paris en 1830. Son sort était entre les mains du secrétaire permanent de l'Académie - Fourier. Fourier commence à lire le manuscrit, mais meurt bientôt. Le deuxième manuscrit, comme le premier, disparaît. Dans la vie de Galois, un temps est venu rempli d'événements importants. Il rejoint les Républicains, rejoint la « Société des Amis du Peuple » et s'engage dans l'artillerie de la Garde Nationale. Pour s'être prononcé contre la direction, il a été expulsé de l'école normale. Le 14 juillet 1831, en commémoration du prochain anniversaire de la prise de la Bastille, eut lieu une manifestation des Républicains. La police a arrêté de nombreux manifestants, dont Galois. Le procès de Galois eut lieu le 23 octobre 1831. Il a été condamné à 9 mois de prison. Galois a poursuivi ses recherches en prison. Le matin du 30 mai 1832, lors d'un duel dans la ville de Gentilly, Galois est mortellement blessé d'une balle dans le ventre. Il est mort un jour plus tard. Les travaux mathématiques de Galois, du moins ceux qui nous sont parvenus, comptent soixante petites pages. Jamais auparavant un ouvrage d'un si petit volume n'avait apporté une telle notoriété à l'auteur. En 1832, Galois, alors qu'il est en prison, rédige un programme qui ne sera publié que soixante-dix ans après sa mort. Mais même au début du XXe siècle, il n'a pas suscité d'intérêt sérieux et a été vite oublié. Seuls les mathématiciens modernes, qui ont poursuivi le travail de plusieurs générations de scientifiques, ont finalement réalisé le rêve de Galois. « Je prie mes juges de lire au moins ces quelques pages », commença Galois dans ses célèbres mémoires. Cependant, les idées de Galois étaient si profondes et complètes qu'à cette époque, il était vraiment difficile pour un scientifique de les apprécier. "... Alors, je crois que les simplifications obtenues en améliorant les calculs (bien sûr, nous entendons des simplifications fondamentales, pas techniques) ne sont pas du tout illimitées. Le moment viendra où les mathématiciens pourront prévoir aussi clairement les transformations algébriques, que la dépense de temps et de papier pour les exécuter avec soin cessera d'être payante. Je ne prétends pas que l'analyse ne puisse rien apporter de nouveau au-delà d'une telle prévoyance, mais je pense que sans elle tous les moyens seront un jour vains. Subordonner les calculs à sa volonté, regrouper les opérations mathématiques, apprendre à les classer selon le degré de difficulté, et non selon des signes extérieurs - telles sont les tâches des mathématiciens du futur tels que je les comprends, telle est la voie Je veux prendre. Qu'on ne confonde pas la véhémence dont j'ai fait preuve avec le désir de certains mathématiciens d'éviter tout calcul. Au lieu de formules algébriques, ils utilisent de longs arguments et, à la lourdeur des transformations mathématiques, ils ajoutent la lourdeur d'une description verbale de ces transformations, en utilisant un langage qui n'est pas adapté pour effectuer de telles tâches. Ces mathématiciens ont cent ans de retard. Rien de tel ne se passe ici. Ici, je fais une analyse d'analyse. En même temps, les transformations les plus complexes aujourd'hui connues (fonctions elliptiques) ne sont considérées que comme des cas particuliers, très utiles et même nécessaires, mais toujours pas généraux, de sorte que refuser des recherches plus larges serait une erreur fatale. Le temps viendra où les transformations dont il est question dans l'analyse supérieure esquissée ici seront effectivement réalisées et seront classées selon le degré de difficulté, et non selon le type de fonctions qui se présentent ici. Ici, il faut faire attention aux mots "opérations mathématiques de groupe". Galois entend sans doute par là la théorie des groupes. Tout d'abord, Galois ne s'intéressait pas aux problèmes mathématiques individuels, mais aux idées générales qui déterminent toute la chaîne des considérations et guident le cours logique de la pensée. Ses preuves sont basées sur une théorie profonde qui vous permet de combiner tous les résultats obtenus à cette époque et de déterminer le développement de la science pour une longue période à venir. Quelques décennies après la mort de Galois, le mathématicien allemand David Hilbert a appelé cette théorie "l'établissement d'un certain cadre de concepts". Mais peu importe le nom qu'on lui donne, il est évident qu'il couvre un très large domaine de connaissances. "En mathématiques, comme dans toute autre science", a écrit Galois, "il y a des questions qui doivent être abordées en ce moment même. Ce sont les problèmes urgents qui captivent l'esprit des penseurs avancés, indépendamment de leur propre volonté et conscience." L'un des problèmes sur lesquels travaillait Évariste Galois était la résolution d'équations algébriques. Que se passe-t-il si nous ne considérons que des équations à coefficients numériques ? Après tout, il peut arriver que bien qu'il n'y ait pas de formule générale pour résoudre de telles équations, les racines de chaque équation individuelle puissent être exprimées en radicaux. Et si ce n'est pas le cas ? Alors il doit y avoir un signe qui permet de déterminer si cette équation est résolue en radicaux ou non ? Quel est ce signe ? La première des découvertes de Galois est qu'il a réduit le degré d'incertitude de leurs significations, c'est-à-dire qu'il a établi certaines des « propriétés » de ces racines. La deuxième découverte est liée à la méthode utilisée par Galois pour obtenir ce résultat. Au lieu d'étudier l'équation elle-même, Galois a étudié son "groupe", ou, au sens figuré, sa "famille". "Un groupe", écrit A. Dalma, "est une collection d'objets qui ont certaines propriétés communes. Prenons, par exemple, les nombres réels comme tels objets. La propriété générale d'un groupe de nombres réels est que, lors de la multiplication de deux éléments de ce groupe, nous obtenons est aussi un nombre réel. Au lieu de nombres réels, les mouvements sur le plan, étudiés en géométrie, peuvent apparaître comme des "objets" ; dans ce cas, la propriété du groupe est que la somme de deux les mouvements donnent à nouveau le mouvement. En passant d'exemples simples à des exemples plus complexes, on peut, comme "objets", choisir des opérations sur des objets. Dans ce cas, la propriété principale du groupe sera que la composition de deux opérations quelconques est aussi une C'est ce cas que Galois a étudié. Considérant l'équation qu'il fallait résoudre, il y a associé un certain groupe d'opérations (pour Malheureusement, nous ne pouvons pas préciser ici comment cela se fait) et a prouvé que les propriétés de l'opération équationreflètent les caractéristiques de ce groupe. Puisque différentes équations peuvent avoir le même groupe, il suffit de considérer le groupe qui leur correspond au lieu de ces équations. Cette découverte a marqué le début de l'étape moderne dans le développement des mathématiques. Quels que soient les "objets" qui composent le groupe : nombres, mouvements ou opérations, ils peuvent tous être considérés comme des éléments abstraits qui n'ont pas de caractéristiques spécifiques. Pour définir un groupe, il suffit de formuler les règles générales qui doivent être suivies pour qu'un ensemble donné d'"objets" soit appelé un groupe. Actuellement, les mathématiciens appellent de telles règles axiomes des groupes, la théorie des groupes consiste à lister toutes les conséquences logiques de ces axiomes. Dans le même temps, de plus en plus de nouvelles propriétés sont constamment découvertes ; en les démontrant, le mathématicien approfondit de plus en plus la théorie. Il est essentiel que ni les objets eux-mêmes ni les opérations sur ceux-ci ne soient spécifiés de quelque manière que ce soit. Si après cela, dans l'étude d'un problème particulier, on doit considérer certains objets mathématiques ou physiques particuliers qui forment un groupe, alors, sur la base de la théorie générale, on peut prévoir leurs propriétés. La théorie des groupes permet donc des économies tangibles de fonds ; en outre, il ouvre de nouvelles possibilités d'application des mathématiques aux travaux de recherche. L'introduction du concept de groupe a épargné aux mathématiciens la lourde tâche d'examiner de nombreuses théories différentes. Il s'est avéré qu'il suffisait de distinguer les "caractéristiques de base" d'une théorie ou d'une autre, et comme, en fait, elles sont toutes complètement similaires, il suffit de les désigner par le même mot, et cela devient immédiatement clair qu'il est inutile de les étudier séparément. Galois cherche à introduire une nouvelle unité dans l'appareil mathématique envahi. La théorie des groupes, c'est d'abord mettre les choses en ordre en langage mathématique. La théorie des groupes, à partir de la fin du XIXe siècle, a eu un impact énorme sur le développement de l'analyse mathématique, de la géométrie, de la mécanique et, enfin, de la physique. Il a ensuite pénétré dans d'autres domaines des mathématiques - les groupes de Lie sont apparus dans la théorie des équations différentielles, les groupes de Klein en géométrie. Il est également apparu des groupes Galileo en mécanique et les groupes Lorenz dans la théorie de la relativité. Auteur : Samin D.K.
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