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DÉCOUVERTES SCIENTIFIQUES LES PLUS IMPORTANTES
Calcul différentiel et intégral. Histoire et essence de la découverte scientifique
Annuaire / Les découvertes scientifiques les plus importantes Bien avant Newton и Leibniz de nombreux philosophes et mathématiciens ont traité la question des infinitésimaux, mais se sont limités aux conclusions les plus élémentaires. Même les anciens Grecs utilisaient la méthode des limites dans les études géométriques, au moyen de laquelle ils calculaient, par exemple, l'aire d'un cercle. Un développement particulier fut donné à cette méthode par le plus grand mathématicien de l'antiquité Archimède, qui a découvert avec son aide de nombreux théorèmes remarquables. Kepler et à cet égard se rapprochait le plus de la découverte de Newton. A l'occasion d'une dispute purement banale entre un acheteur et un vendeur à propos de plusieurs chopes de vin, Kepler reprend la détermination géométrique de la contenance de corps en forme de tonneau. Dans ces études, on peut déjà voir une idée très claire des infinitésimaux. Ainsi, Kepler considérait l'aire d'un cercle comme la somme d'innombrables très petits triangles, ou, plus précisément, comme la limite d'une telle somme. Plus tard, le mathématicien italien Cavalieri a repris la même question. En particulier, les mathématiciens français du XVIIe siècle Roberval ont beaucoup fait dans ce domaine, Ferme и Pascal. Mais seuls Newton et un peu plus tard Leibniz ont créé une véritable méthode qui a donné une énorme impulsion à toutes les branches des sciences mathématiques. Selon Auguste Comte, le calcul différentiel, ou analyse des quantités infinitésimales, est un pont jeté entre le fini et l'infini, entre l'homme et la nature : une connaissance approfondie des lois de la nature est impossible à l'aide d'une simple analyse grossière des quantités finies. quantités, car dans la nature à chaque étape - infinie, continue, changeante. Newton a créé sa méthode sur la base de découvertes antérieures qu'il avait faites dans le domaine de l'analyse, mais dans le problème le plus important, il s'est tourné vers l'aide de la géométrie et de la mécanique. On ne sait pas exactement quand Newton a découvert sa nouvelle méthode. En raison du lien étroit de cette méthode avec la théorie de la gravitation, il faut penser qu'elle a été développée par Newton entre 1666 et 1669 et, en tout cas, avant les premières découvertes faites dans ce domaine par Leibniz. "Newton considérait les mathématiques comme l'outil principal de la recherche physique", note V.A. Nikiforovsky, "et les a développées pour de nombreuses applications ultérieures. Après mûre réflexion, il est arrivé au calcul infinitésimal basé sur le concept de mouvement ; pour lui, les mathématiques n'ont pas agi en tant que produit abstrait de l'esprit humain, il croyait que les images géométriques - lignes, surfaces, corps - sont obtenues à la suite d'un mouvement : une ligne - lorsqu'un point bouge, une surface - lorsqu'une ligne bouge, un corps - lorsqu'une surface mouvements. Ces mouvements s'effectuent dans le temps, et dans un temps arbitrairement court un point, par exemple, va parcourir une distance arbitrairement petite. Pour trouver la vitesse instantanée, la vitesse à un instant donné, il faut trouver le rapport des l'incrément du chemin (dans la terminologie moderne) jusqu'à l'incrément de temps, puis la limite de ce rapport, c'est-à-dire prendre le « dernier rapport », lorsque l'incrément de temps tend vers zéro. Ainsi Newton a introduit la recherche des « dernières relations » », des dérivés, qu'il appelait fluxions... ... L'utilisation du théorème sur l'inversement mutuel des opérations de différenciation et d'intégration, connu même de Barrow, et la connaissance des dérivées de nombreuses fonctions ont donné à Newton l'opportunité d'obtenir des intégrales (dans sa terminologie, fluents). Si les intégrales n'étaient pas directement calculées, Newton développait l'intégrande en une série de puissances et l'intégrait terme à terme. Pour étendre les fonctions en séries, il a le plus souvent utilisé le développement binomial découvert par lui, et a également appliqué des méthodes élémentaires ... " Le nouvel appareil mathématique a déjà été testé par le scientifique au moment où il a créé l'œuvre principale de sa vie - "Principes mathématiques de la philosophie naturelle". À cette époque, Newton maîtrisait couramment la différenciation, l'intégration, l'expansion des séries, l'intégration d'équations différentielles et l'interpolation. "Newton", poursuit V.A. Nikiforovsky, "a fait ses découvertes avant Leibniz, mais ne les a pas publiées en temps opportun ; tous ses travaux mathématiques ont été publiés après qu'il soit devenu célèbre. exposant arbitraire. En 1664, il a préparé un manuscrit intitulé "La suite les phrases suffisent pour résoudre des problèmes par le mouvement », contenant les principales découvertes en mathématiques. Le manuscrit est resté à l'état de projet et n'a été publié que trois cents ans plus tard. Dans Analyse par équations avec un nombre infini de termes, écrit en 1665, Newton présente ses résultats dans la doctrine des séries infinitésimales, dans l'application des séries à la solution des équations... ... En 1670-1671, Newton commença à préparer pour publication un ouvrage plus complet - "La méthode des fluxions et des séries infinies". Il n'était pas possible de trouver un éditeur : à cette époque, les livres sur les mathématiques apportaient une perte... Dans la "Méthode des fluxions" l'enseignement de Newton apparaît comme un système : le calcul des fluxions est considéré, leur application à la détermination des tangentes, à la recherche extrema, courbure, calcul de quadratures, résolution d'équations avec fluxions, ce qui correspond aux équations différentielles modernes". Ce n'est qu'en 1704 que le premier de tous les travaux d'analyse de Newton est sorti - écrit par lui en 1665-1666. Sept ans plus tard, ils ont publié "Analyse utilisant des équations avec un nombre infini de termes". La "Méthode des fluxions" n'a vu le jour qu'après la mort de l'auteur en 1736. Pendant longtemps, Newton n'a même pas soupçonné que le Leibniz allemand traitait avec succès un problème similaire sur le continent.Pour le moment, appréciant hautement les mérites les uns des autres, les scientifiques se sont finalement impliqués dans un débat sur la priorité de la découverte du calcul infinitésimal. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) est né à Leipzig. La mère de Leibniz, s'occupant de l'éducation de son fils, l'envoya à l'école de Nicolai, qui à l'époque était considérée comme la meilleure de Leipzig. Gottfried passait des journées entières assis dans la bibliothèque de son père. Il a lu Platon, Aristote, Cicéron, Descartes sans discernement. Gottfried n'a pas encore quatorze ans lorsqu'il étonne ses instituteurs en faisant preuve d'un talent que personne ne soupçonne de lui. Il s'est avéré être un poète - selon les concepts de l'époque, un vrai poète ne pouvait écrire qu'en latin ou en grec. À l'âge de quinze ans, Gottfried est devenu étudiant à l'Université de Leipzig. Officiellement, Leibniz était considéré à la faculté de droit, mais le cercle spécial des sciences juridiques était loin de le satisfaire. En plus des cours de jurisprudence, il en assista assidûment à bien d'autres, notamment en philosophie et en mathématiques. Voulant compléter sa formation mathématique, Gottfried se rendit à Iéna, où le mathématicien Weigel était célèbre. De retour à Leipzig, Leibniz réussit brillamment l'examen de maîtrise en "arts libéraux et sagesse du monde", c'est-à-dire littérature et philosophie. Gottfried à cette époque n'avait même pas 18 ans. L'année suivante, se tournant un temps vers les mathématiques, il écrit "Discours sur l'art combinatoire". A l'automne 1666, Leibniz part pour Altorf, la ville universitaire de la petite République de Nuremberg. Ici, le 5 novembre 1666, Leibniz défendit brillamment sa thèse de doctorat "On Entangled Matters". En 1667, Gottfried se rendit à Mayence chez l'électeur, auquel il fut immédiatement présenté. Pendant cinq ans, Leibniz occupa une place prépondérante à la cour de Mayence, période de sa vie marquée par une intense activité littéraire. Leibniz a écrit un certain nombre d'ouvrages à contenu philosophique et politique. Le 18 mars 1672, Leibniz part pour la France pour une importante mission diplomatique. La connaissance des mathématiciens parisiens dans les plus brefs délais a fourni à Leibniz les informations sans lesquelles, malgré tout son génie, il n'aurait jamais pu réaliser quoi que ce soit de vraiment grand dans le domaine des mathématiques. L'école de Fermat, Pascal et Descartes était nécessaire au futur inventeur du calcul différentiel. Pour Leibniz, les vraies mathématiques n'ont commencé qu'après avoir visité Londres en 1675. De retour à Paris, Leibniz partage son temps entre des études de mathématiques et des travaux à caractère philosophique. Le sens mathématique l'emportait de plus en plus sur le sens juridique, les sciences exactes l'attiraient désormais plus que la dialectique des juristes romains. Dans la dernière année de son séjour à Paris en 1676, Leibniz a élaboré les premières bases de la grande méthode mathématique connue sous le nom de "calcul". Les faits prouvent de manière convaincante que bien que Leibniz ne connaisse pas la méthode des fluxions, il a été conduit à la découverte par les lettres de Newton. D'autre part, il ne fait aucun doute que la découverte de Leibniz, en termes de généralité, de commodité de désignation et de développement détaillé de la méthode, est devenue un outil d'analyse beaucoup plus puissant et populaire que la méthode des fluxions de Newton. Même les compatriotes de Newton, qui ont longtemps préféré la méthode des fluxions par vanité nationale, ont peu à peu adopté la notation plus commode de Leibniz ; quant aux Allemands et aux Français, ils ont même accordé trop peu d'attention à la méthode de Newton, qui dans d'autres cas a conservé sa signification jusqu'à nos jours. La méthode mathématique de Leibniz est étroitement liée à son enseignement ultérieur sur les monades - éléments infinitésimaux à partir desquels il tenta de construire l'Univers. L'analogie mathématique et l'application de la théorie des plus grandes et des plus petites quantités au domaine moral ont donné à Leibniz ce qu'il considérait comme un fil conducteur de la philosophie morale. Les activités politiques de Leibniz l'ont largement détourné des mathématiques. Néanmoins, il consacra tout son temps libre au traitement du calcul différentiel qu'il inventa et, entre 1677 et 1684, réussit à créer une toute nouvelle branche des mathématiques. En 1684, Leibniz publie dans la revue Proceedings of Scientists un exposé systématique des principes du calcul différentiel. Tous les traités qu'il a publiés, en particulier le dernier, qui a paru près de trois ans avant la publication de la première édition des Principia de Newton, ont donné à la science une impulsion si énorme qu'il est aujourd'hui même difficile d'évaluer la pleine portée de la réforme effectuée. par Leibniz dans le domaine des mathématiques. Ce qui était vaguement imaginé dans l'esprit des meilleurs mathématiciens français et anglais, à l'exception de Newton, qui avait sa propre méthode des fluxions, est soudainement devenu clair, distinct et généralement accessible, ce qui ne peut être dit de la brillante méthode de Newton. "Leibniz, contrairement au Newton concret, empirique et prudent", écrit V.P. Kartsev, "était un systématicien majeur dans le domaine du calcul, un innovateur audacieux. Ce projet ambitieux et irréaliste était, bien sûr, irréalisable, mais, ayant changé, il est devenu un système universel de notation pour le petit calcul, que nous utilisons encore. Il opère librement avec des signes ... qu'il considère à juste titre comme des signes d'opérations inverses, et tourne avec eux aussi librement et librement qu'avec des symboles algébriques. Il opère facilement avec des dérivées d'ordres supérieurs, tandis que Newton introduit des flux d'ordre supérieur de manière strictement limitée, si nécessaire pour résoudre un problème spécifique. Leibniz a vu dans ses différentielles et intégrales une méthode générale, a consciemment cherché à créer un algorithme rigide pour une solution simplifiée de problèmes précédemment non résolus. Newton, en revanche, ne se souciait pas du tout de rendre publique sa méthode. Son symbolisme n'a été introduit par lui que pour une consommation "interne", personnelle, il n'y a pas strictement adhéré. Voici l'avis du mathématicien soviétique A. Shibanov : "S'inclinant devant l'autorité indiscutable de leur grand compatriote, les scientifiques britanniques ont par la suite canonisé chaque trait, chaque moindre détail de son activité scientifique, même les signes mathématiques qu'il a introduits pour un usage personnel." "Une tradition de révérence pour Newton pesait lourdement sur la science anglaise, et ses désignations, maladroites par rapport à celles de Leibniz, entravaient les progrès", reconnaît le scientifique néerlandais D.Ya. Stroyk. Dans une lettre écrite en juin 1677, Leibniz révèle directement à Newton sa méthode de calcul différentiel. Il n'a pas répondu à la lettre de Leibniz. Newton croyait que la découverte lui appartenait pour toujours. Il suffit qu'il ne soit caché que dans sa tête. Le scientifique croyait sincèrement: une publication en temps opportun n'apporte aucun droit. Devant Dieu, le découvreur sera toujours celui qui a découvert le premier. Auteur : Samin D.K.
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