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DÉCOUVERTES SCIENTIFIQUES LES PLUS IMPORTANTES
Géométrie non euclidienne. Histoire et essence de la découverte scientifique
Annuaire / Les découvertes scientifiques les plus importantes Sur Définition d'Euclide Les lignes parallèles sont des lignes droites qui se trouvent dans le même plan et ne se rencontrent jamais, quelle que soit leur extension. Mais déjà les commentateurs les plus anciens d'Euclide, Posidonius (IIe siècle av. J.-C.), Geminus (Ie siècle av. J.-C.), Ptolémée (IIe siècle apr. , et a essayé soit de le déduire comme conséquence d'autres dispositions, soit de remplacer la définition du parallèle donnée par Euclide par une autre définition. Dans la seconde moitié du XVIIe siècle Leibniz également critique des principales dispositions d'Euclide. Comme on le sait, il voulait aussi construire une analyse purement géométrique qui exprimerait directement les propriétés de position, tout comme l'algèbre exprime la grandeur. Mais ce n'est que dans la première moitié du XVIIIe siècle que l'idée en vint à s'appliquer à la question des droites parallèles et à appliquer systématiquement dans la théorie des droites parallèles cette méthode de preuve par contradiction, si souvent utilisée par les mathématiciens grecs. Cette brillante idée appartenait à Saccheri. Dans l'ouvrage paru l'année de sa mort, « Euclide, délivré de tous les points », Saccheri prend comme point de départ un quadrilatère dont les deux côtés opposés, perpendiculaires à la base, sont égaux l'un à l'autre. Dans un tel quadrilatère, les angles formés par des côtés égaux avec le côté opposé à la base sont égaux, et la preuve de cette propriété du quadrilatère ne dépend pas du postulat d'Euclide. S'il s'agit de lignes droites, alors le postulat d'Euclide est prouvé, puisque dans ce cas la somme des angles d'un triangle est égale à deux angles droits. Mais Saccheri (et c'est là son idée géniale originale) fait aussi deux autres hypothèses - l'hypothèse d'un angle aigu et l'hypothèse d'un angle obtus, déduit de ces hypothèses les conséquences qui en découlent et essaie de prouver l'impossibilité de ces conséquences, c'est-à-dire : l'admissibilité d'une seule hypothèse d'angle droit. Il parvient facilement à prouver que l'hypothèse de l'angle obtus est invalide, car elle conduit à des contradictions. Afin de retrouver la même contradiction dans l'hypothèse de l'angle aigu, il en déduit un certain nombre de théorèmes remarquables, qui furent ensuite prouvés à nouveau par Legendre. Tels sont, par exemple, les théorèmes selon lesquels si l'une ou l'autre ou une troisième hypothèse est vraie pour un quadrilatère, elle est également valable pour n'importe quel autre. Trois ans après son apparition, en 1766, Lambert pose le même problème que Saccheri. Au lieu d'un quadrilatère avec deux angles droits et deux côtés égaux, Lambert considère un quadrilatère avec trois angles droits et fait trois hypothèses sur le quatrième angle. Son exposé a quelques particularités par rapport à celui de Saccheri : il évite de recourir à des arguments fondés sur la continuité. Du fait que dans les hypothèses d'un angle obtus et aigu il n'y a pas de similitude de chiffres, Lambert déduit la conclusion sur l'existence d'une mesure absolue. En 1799, le brillant mathématicien Carl Gauss suivi le chemin que Saccheri et Lambert avaient parcouru avant lui - le long du chemin d'une dérivation systématique de toutes les conséquences de l'hypothèse de l'angle aigu. Mais ses réflexions firent naître des doutes sur la possibilité de prouver l'axiome d'Euclide et, en 1816, le mathématicien était convaincu qu'une telle preuve était impossible. L'opinion publique de Gauss sur l'impossibilité de prouver l'axiome d'Euclide n'a eu aucune influence et a même fait l'objet d'attaques grossières. C'est l'une des raisons pour lesquelles il décide de ne pas publier ses recherches et réflexions sur la question des fondations, « de peur du cri des Béotiens » (lettre à Bessel du 27 janvier 1829). Mais il n'a pas interrompu ses recherches et a accueilli avec le plus grand intérêt et la plus grande sympathie les travaux et les réflexions qui coïncidaient avec ses recherches et ses vues. Jusqu'où il est allé dans cette voie est montré par sa lettre à Wolfgang Bolyai datée du 6 mars 1832, dans laquelle Gauss dit qu'entre 1797 et 1802 il a trouvé les résultats auxquels Johann Bolyai est arrivé. Par exemple, une preuve purement géométrique du théorème selon lequel, en géométrie non euclidienne, la différence de la somme des angles d'un triangle à partir de 180 degrés est proportionnelle à l'aire du triangle. Wolfgang Bolyai, un camarade d'école de Gauss, a montré un grand intérêt pour la théorie des droites parallèles. Cet intérêt extraordinaire, selon sa lettre à son fils en 1820, lui empoisonna toutes les joies de la vie, fit de lui un martyr du désir de libérer la géométrie de la souillure, « d'enlever le nuage qui obscurcit la beauté de la vierge-vérité ». Mais alors que les efforts de presque toute la vie de son père ont été dirigés vers la preuve du 5ème postulat et qu'il n'a pas réussi à atteindre l'objectif, son fils talentueux a été l'un des créateurs de la géométrie non euclidienne. Johann Bolyai est né en 1802 à Klausenburg. Déjà en 1807, son père écrivait avec joie et fierté à Gauss sur les extraordinaires capacités mathématiques du garçon qui, à l'âge de treize ans, avait déjà étudié la planimétrie, la stéréométrie, la trigonométrie, les sections coniques, et à l'âge de 14 ans, il résolvait déjà problèmes de calcul différentiel et intégral avec facilité. Wolfgang n'envoya pas son fils étudier à Göttingen avec le "colosse mathématique" et, en 1818, Johann entra à l'Académie d'ingénierie de Vienne, où une grande attention était accordée aux mathématiques supérieures. En 1823, il termine ses études à l'académie et, en tant qu'ingénieur militaire, est envoyé à la forteresse de Temetvar. C'est tout naturellement que Johann, qui possédait des capacités mathématiques extraordinaires, presque enfant, a décidé de s'essayer à résoudre le problème dont son père était tourmenté, mais dont son père lui avait dit que celui qui le résolvait était digne d'un diamant. la taille du globe. En 1820, Johann informe son père qu'il a déjà trouvé un moyen de prouver l'axiome, puis son père lui écrit une lettre passionnée l'avertissant de ne pas s'engager dans la théorie des lignes parallèles. Une nuit d'hiver en 1823, il a trouvé cette relation de base entre la longueur d'une perpendiculaire tombant d'un point à une ligne droite et l'angle que l'asymptote (ligne parallèle) fait avec cette perpendiculaire Lobatchevski), qui est la clé de la trigonométrie non euclidienne. Enthousiasmé par sa découverte, qui lui semblait ouvrir la voie à la preuve de l'Axiome XI, il écrit le 3 novembre de Temetvar à son père : "J'ai créé un monde nouveau, différent à partir de rien. Tout ce que j'ai envoyé jusqu'ici n'est qu'un château de cartes en comparaison avec la tour en cours d'érection." En 1829, Wolfgang a terminé un grand essai mathématique, sur lequel il a travaillé pendant une vingtaine d'années. En annexe de ce livre, l'œuvre immortelle de Johann Boliai a également été publiée. Bien sûr, Boliai ne se doutait pas qu'au même moment, dans la lointaine Kazan, Lobachevsky publiait son premier ouvrage "Sur les principes de la géométrie" (1829). Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856) est né dans le district de Makaryevsky de la province de Nizhny Novgorod. Son père occupait la place d'architecte de district et faisait partie du nombre des petits fonctionnaires qui recevaient un maigre contenu. La pauvreté qui l'entourait dans les premiers jours de sa vie se transforma en pauvreté lorsqu'en 1797 son père mourut et sa mère de vingt-cinq ans se retrouva seule avec les enfants sans aucun moyen. En 1802, elle amena trois fils à Kazan et les affecta au gymnase de Kazan, où les capacités phénoménales de son deuxième fils furent rapidement remarquées. Lorsqu'en 1804 la classe supérieure du gymnase de Kazan fut transformée en université, Lobachevsky fut inclus dans le nombre d'étudiants du département de sciences naturelles. Le jeune homme a étudié avec brio. Lobachevsky a reçu une excellente éducation. Des conférences sur l'astronomie ont été lues par le professeur Litroff. Il a écouté les cours de mathématiques du professeur Bartels, élève d'un scientifique aussi éminent que Carl Friedrich Gauss. Déjà en 1811, Lobachevsky a obtenu une maîtrise et il a été laissé à l'université pour se préparer à un poste de professeur. En 1814, Lobachevsky a reçu le titre d'associé de mathématiques pures et en 1816, il a été nommé professeur. À partir de 1819, Lobatchevsky enseigna l'astronomie. L'activité administrative du scientifique a commencé en 1820, lorsqu'il a été élu doyen. Malgré l'activité pratique épuisante qui ne laissait pas un seul instant de repos, Lobachevsky n'arrêta jamais ses études scientifiques et pendant son rectorat publia ses meilleurs travaux dans les Notes Scientifiques de l'Université de Kazan. Si Johann Bolyai a commencé à étudier la théorie des lignes parallèles sous l'influence de son père, Lobatchevsky n'a pu commencer à l'étudier que parce que l'intérêt pour cette théorie a été particulièrement ravivé à la fin du XVIIIe et au début du XIXe siècle. Au vingt-cinquième anniversaire précédant la parution du premier ouvrage de Lobatchevski, pas une année ne s'est écoulée sans la parution d'un ou plusieurs ouvrages sur la théorie des lignes parallèles. Jusqu'à 30 ouvrages sont connus, imprimés uniquement en allemand et en français de 1813 à 1827. Les travaux de Legendre ont également suscité l'intérêt des mathématiciens russes pour la théorie des droites parallèles. Le premier académicien russe qui a gagné une place honorable dans l'histoire de l'enseignement mathématique russe avec ses travaux publiés, CE. Gour'ev, dans son ouvrage le plus important, Essai sur l'amélioration des éléments de géométrie, publié en 1798, accorde une attention particulière à la théorie des droites parallèles et aux preuves données par Legendre. Critiquant ces preuves, Guriev propose les siennes. Partant de l'affirmation selon laquelle, sous certaines conditions, des lignes qui nous semblent parallèles peuvent se croiser, Lobachevsky est arrivé à la conclusion qu'il est possible de créer une nouvelle géométrie cohérente. Comme son existence était impossible à imaginer dans le monde réel, le scientifique l'a appelée "géométrie imaginaire". Mais lui, comme I. Boliai, n'est pas venu tout de suite à cette idée. Les cours de 1815-1817, le manuel de géométrie de 1823 et "l'Exposition succincte des principes de la géométrie", qui ne nous est pas parvenue, lus lors d'une réunion du département de physique et de mathématiques le 12 février 1826 - ces sont les trois étapes de la pensée de Lobachevsky dans le domaine de la théorie des droites parallèles. Dans des conférences, il donne trois manières différentes de le justifier; dans un manuel de 1823, il déclare que toutes les preuves données jusqu'à présent ne méritent pas d'être honorées au sens plein des mathématiques, et, enfin, trois ans plus tard, il donne déjà ce système pour construire la géométrie sur une position différente du postulat d'Euclide , qui a immortalisé son nom. "Exposition" ne nous est pas parvenue. Le premier ouvrage imprimé de Lobachevsky, qu'il appelle un extrait de l'Exposition, a été publié dans le Kazan Vestnik en 1829-1830. Cette date établit la priorité de la publication de la découverte de Lobachevsky par rapport à I. Boliai, puisque "l'Appendice" de ce dernier a été publié en 1831, et n'a été épuisé qu'en 1832. Comme le montre le titre "Exposition", elle avait pour sujet non seulement la théorie exacte des lignes parallèles, mais était également consacrée à la question des principes de la géométrie. Bien que I. Boliai et Lobachevsky aient été élus membres de l'Académie des sciences de Hanovre pour cette découverte, c'est la géométrie de Lobachevsky qui a reçu les droits de citoyenneté en Europe occidentale. En 1837, les œuvres de Lobachevsky sont publiées en français. En 1840, il publie en allemand sa théorie des parallèles, qui mérite la reconnaissance du grand Gauss. En Russie, Lobachevsky n'a pas vu l'évaluation de ses travaux scientifiques. De toute évidence, les recherches de Lobachevsky dépassaient l'entendement de ses contemporains. Certains l'ont ignoré, d'autres ont salué son travail avec des moqueries grossières et même des réprimandes. Tandis que notre autre mathématicien très talentueux Ostrogradsky jouissait d'une renommée bien méritée, personne ne connaissait Lobachevsky; Ostrogradsky lui-même l'a traité de manière moqueuse ou hostile. Tout à fait correctement, ou plutôt, à fond, un géomètre a appelé la géométrie stellaire de la géométrie de Lobachevsky. On peut se faire une idée des distances infinies si l'on se souvient qu'il existe des étoiles à partir desquelles la lumière atteint la Terre depuis des milliers d'années. Ainsi, la géométrie de Lobachevsky inclut la géométrie d'Euclide non pas comme un cas particulier, mais comme un cas particulier. En ce sens, la première peut être qualifiée de généralisation de la géométrie que nous connaissons. Maintenant la question se pose, est-ce que Lobachevsky possède l'invention de la quatrième dimension ? Pas du tout. La géométrie à quatre et plusieurs dimensions a été créée par le mathématicien allemand, élève de Gauss, Riemann. L'étude des propriétés des espaces sous une forme générale constitue maintenant la géométrie non euclidienne, ou la géométrie de Lobachevsky. L'espace Lobachevsky est un espace à trois dimensions, qui diffère du nôtre en ce que le postulat d'Euclide n'y prend pas place. Les propriétés de cet espace sont maintenant comprises en supposant une quatrième dimension. Mais cette étape appartient déjà aux partisans de Lobachevsky. Naturellement, la question se pose, où est un tel espace. La réponse a été donnée par le plus grand physicien du XXe siècle Albert Einstein. Sur la base des travaux de Lobachevsky et des postulats de Riemann, il a créé la théorie de la relativité, qui a confirmé la courbure de notre espace. Selon cette théorie, toute masse matérielle courbe l'espace environnant. La théorie d'Einstein a été confirmée à plusieurs reprises par des observations astronomiques, à la suite desquelles il est devenu clair que la géométrie de Lobachevsky est l'une des idées fondamentales sur l'univers qui nous entoure. Auteur : Samin D.K.
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