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DÉCOUVERTES SCIENTIFIQUES LES PLUS IMPORTANTES
Dernier théorème de Fermat. Histoire et essence de la découverte scientifique
Annuaire / Les découvertes scientifiques les plus importantes L'une des nécrologies de Pierre de Fermat disait : "C'était l'un des esprits les plus remarquables de notre siècle, un génie si universel et si polyvalent que si tous les savants ne rendaient pas hommage à ses mérites extraordinaires, il serait difficile de tout croire. qu'il faut dire de lui. à dire pour ne rien rater de notre éloge." Malheureusement, on ne sait pas grand-chose de la vie du grand scientifique. Pierre Fermat (1601-1665) est né dans le sud de la France dans la petite ville de Beaumont-de-Lomagne, où son père, Dominique Fermat, était le "second consul", c'est-à-dire l'adjoint au maire. Dominique Fermat a donné à son fils une éducation très solide. Au collège de sa ville natale, Pierre a acquis une bonne connaissance des langues : latin, grec, espagnol, italien. Il a ensuite écrit de la poésie en latin, en français et en espagnol. Fermat était célèbre comme fin connaisseur de l'antiquité, il était consulté sur les passages difficiles dans les éditions des classiques grecs. Cependant, Pierre dirigea toute la force de son génie vers la recherche mathématique. Pourtant, les mathématiques ne sont pas devenues sa profession. Les scientifiques de son temps n'avaient pas la possibilité de se consacrer entièrement à leur science bien-aimée. La ferme élit la jurisprudence. Un baccalauréat lui a été décerné à Orléans. Depuis 1630, Fermat s'installe à Toulouse, où il obtient un poste de conseiller au Parlement (c'est-à-dire à la cour). Au sujet de ses activités juridiques, il est dit en un "mot louable" qu'il les exécuta "avec une grande conscience et une telle habileté qu'il était réputé comme l'un des meilleurs avocats de son temps". Du vivant de Fermat, ses travaux mathématiques se sont fait connaître principalement grâce à l'abondante correspondance qu'il entretenait avec d'autres scientifiques. Les œuvres rassemblées, qu'il a essayé à plusieurs reprises d'écrire, n'ont jamais été créées par lui. Oui, ce n'est pas surprenant compte tenu du travail acharné qu'il a dû accomplir devant le tribunal. Aucun de ses écrits n'a été publié de son vivant, mais il a donné à plusieurs traités un aspect complètement fini, et ils sont devenus connus sous forme manuscrite de la plupart de ses savants contemporains. A ces traités s'ajoute sa correspondance abondante et extrêmement intéressante. Au XVIIe siècle, alors qu'il n'y avait pas de revues scientifiques spécialisées, la correspondance entre savants jouait un rôle particulier. Il fixait des tâches, rendait compte des méthodes pour les résoudre et discutait de problèmes scientifiques aigus. Les correspondants de Fermat étaient les plus grands scientifiques de son temps : Descartes, Étienne Pascal et Blaise Pascal, de Beesi, Huygens, Torricelli, Vallis. Les lettres étaient envoyées soit directement au correspondant, soit à Paris à l'abbé Mersenne (condisciple de Descartes au collège) ; celui-ci les multipliait et les envoyait aux mathématiciens qui s'occupaient de questions semblables. L'une des premières œuvres mathématiques de Fermat fut la restauration de deux livres perdus d'Apollonius "On Flat Places". Le grand service de Fermat à la science se voit généralement dans son introduction d'une quantité infinitésimale dans la géométrie analytique, tout comme cela a été fait un peu plus tôt. Kepler concernant la géométrie des anciens. Il franchit cette étape importante dans ses travaux de 1629 sur les plus grandes et les plus petites quantités, travaux qui ouvrent l'une des séries d'études les plus importantes de Fermat, qui sont l'un des plus grands maillons de l'histoire du développement non seulement de l'analyse supérieure en général, mais également l'analyse des infinitésimaux en particulier. A la fin des années 1636, Fermat découvre des méthodes de recherche des extrema et des tangentes qui, d'un point de vue moderne, se résument à la recherche d'une dérivée.En XNUMX, la présentation complète de la méthode est transférée à Mersenne, et tout le monde peut s'y retrouver. fait sa connaissance. Avant Fermat, le scientifique italien Cavalieri a développé des méthodes systématiques de calcul des surfaces. Mais déjà en 1642, Fermat découvrit une méthode de calcul des aires délimitées par n'importe quelles "paraboles" et n'importe quelles "hyperboles". Il montra que l'aire d'une figure illimitée peut être finie. Fermat a été l'un des premiers à s'attaquer au problème du redressement des courbes, c'est-à-dire du calcul de la longueur de leurs arcs. Il a réussi à réduire ce problème au calcul de certaines surfaces. Ainsi, le concept de "zone" de Fermat a acquis un caractère très abstrait. Les problèmes de redressement des courbes ont été réduits à la détermination des aires, il a réduit le calcul des aires complexes à l'aide de substitutions au calcul des aires plus simples. Il ne restait plus qu'un pas pour passer de l'aire à la notion encore plus abstraite d'« intégrale ». Fermat a bien d'autres réalisations. Il est d'abord venu à l'idée des coordonnées et a créé la géométrie analytique. Il a également traité des problèmes de la théorie des probabilités. Mais Fermat ne s'est pas limité aux seules mathématiques, il a également étudié la physique, où il s'approprie la découverte de la loi de propagation de la lumière dans les milieux. Malgré le manque de preuves (un seul d'entre eux a survécu), il est difficile de surestimer l'importance des travaux de Fermat dans le domaine de la théorie des nombres. Lui seul a réussi à dégager du chaos des problèmes et des questions particulières qui se posent immédiatement au chercheur lorsqu'il étudie les propriétés des nombres entiers, les principaux problèmes qui sont devenus centraux dans toute la théorie classique des nombres. Il possède également la découverte d'une puissante méthode générale pour prouver les propositions de la théorie des nombres - la soi-disant méthode de descente indéfinie ou infinie, qui sera discutée ci-dessous. Par conséquent, Fermat peut légitimement être considéré comme le fondateur de la théorie des nombres. Dans une lettre à de Bessy datée du 18 octobre 1640, Fermat fait la déclaration suivante : si le nombre а non divisible par un nombre premier р, alors il existe un tel indicateur кQue а - divisé par р, où k est un diviseur р-une. Cette affirmation s'appelle le petit théorème de Fermat. Il est fondamental dans toute théorie élémentaire des nombres. Euler a donné à ce théorème plusieurs preuves différentes. Dans le deuxième livre de son Arithmétique, Diophante s'est fixé pour tâche de représenter un carré donné comme la somme de deux carrés rationnels. En marge, contre cette tâche, Fermat écrit : "Au contraire, il est impossible de décomposer ni un cube en deux cubes, ni un bicarré en deux bicarrés, et en général à une puissance supérieure à un carré, en deux puissances de même exposant. J'ai découvert une preuve vraiment merveilleuse pour cela, mais ces champs sont trop étroits pour lui. C'est le fameux grand théorème. Ce théorème eut un destin étonnant. Au siècle dernier, ses recherches ont abouti à la construction des théories les plus subtiles et les plus belles relatives à l'arithmétique des nombres algébriques. On peut dire sans exagération qu'il n'a pas moins joué un rôle dans le développement de la théorie des nombres que le problème de la résolution d'équations en radicaux. La seule différence est que ce dernier a déjà été résolu par Galois, et le Grand Théorème encourage toujours les mathématiciens à la recherche. D'autre part, la simplicité de la formulation de ce théorème et les mots énigmatiques sur sa "preuve miraculeuse" ont conduit à la popularité généralisée du théorème parmi les non-mathématiciens et à la formation de toute une corporation de "fermatistes" qui, dans le mots de Davenport, "avoir un courage bien au-delà de leurs capacités mathématiques." Par conséquent, le Grand Théorème occupe la première place en termes de nombre de preuves incorrectes qui lui sont données. Fermat lui-même a laissé une preuve du Grand Théorème pour les puissances quatrièmes. Ici, il a appliqué une nouvelle méthode. Fermat écrit que "puisque les méthodes habituelles trouvées dans les livres étaient insuffisantes pour prouver des propositions aussi difficiles, j'ai finalement trouvé un moyen très spécial de les atteindre. J'ai appelé cette méthode de preuve une descente infinie ou indéfinie." C'est par cette méthode que de nombreuses propositions de la théorie des nombres ont été prouvées, et, en particulier, avec son aide, Euler a prouvé le Grand Théorème pour n=4 (d'une manière quelque peu différente de la méthode de Fermat), et 20 ans plus tard pour n= 3. Fermat a décrit cette méthode dans sa lettre à Karkavy (août 1659) comme suit : "S'il y avait un triangle rectangle dans les nombres entiers, qui aurait une aire égale au carré, alors il y aurait un autre triangle, plus petit que celui-ci, qui aurait la même propriété. S'il y avait un second, plus petit que le premier , qui aurait la même propriété, alors il existerait, en vertu de ce raisonnement, un tiers de moins que le second, qui aurait la même propriété, et, enfin, un quart, cinquième, descendant à l'infini. Mais si un nombre est donné, alors il n'y a pas de je veux dire de nombres entiers.) D'où il est conclu qu'il n'y a pas de triangle rectangle avec une aire carrée. Fermat poursuit en disant qu'après de longues délibérations, il a pu appliquer sa méthode à la preuve d'autres propositions affirmatives. "Mais pour appliquer la méthode à la preuve d'autres propositions", écrit I.G. Bashmakova, "par exemple, pour prouver que chaque nombre peut être représenté par une somme ne dépassant pas quatre carrés, l'application de" nouveaux principes "est nécessaire, sur laquelle Fermat ne s'attarde pas plus en détail, une liste de tous les théorèmes que Fermat a prouvés en utilisant la méthode de descente, y compris le grand théorème pour le cas n = 3. A la fin de la lettre, Fermat exprime l'espoir que cette méthode être utile aux mathématiciens ultérieurs et leur montrer que "les anciens ne savaient pas tout" "Malheureusement, cette lettre n'a été publiée qu'en 1879. Cependant, Euler a restauré la méthode de Fermat à partir de remarques séparées et l'a appliquée avec succès à des problèmes d'analyse indéfinie. En particulier, il possède également la preuve du grand théorème pour n = 3. Rappelons que la première tentative de prouver l'indécomposabilité du cube d'un nombre naturel en la somme de deux cubes a été faite vers l'an 1000 dans l'Orient arabe. La méthode de descente reprend une place prépondérante dans les recherches sur l'analyse diophantienne d'A. Poincaré et A. Weyl. À l'heure actuelle, pour appliquer cette méthode, le concept de hauteur est introduit, c'est-à-dire un tel nombre naturel, qui d'une certaine manière est mis en correspondance avec chaque solution rationnelle. De plus, s'il est possible de prouver que pour chaque solution rationnelle de hauteur A il existe une autre solution de hauteur inférieure à A, alors cela impliquera l'insolvabilité du problème en nombres rationnels. Toute la théorie algébrique des nombres ultérieure jusqu'aux articles gaussien développé, à partir des problèmes de Fermat. Au XIXe siècle, les recherches liées au dernier théorème de Fermat et aux lois de réciprocité ont nécessité un élargissement du domaine de l'arithmétique. Kummer, tout en travaillant sur le dernier théorème de Fermat, a construit l'arithmétique pour les entiers algébriques d'un certain type. Cela lui a permis de prouver le Grand Théorème pour une certaine classe d'exposants premiers n. À l'heure actuelle, la validité du Grand Théorème a été vérifiée pour tous les exposants n inférieurs à 5500. Nous notons également que le Grand Théorème est lié non seulement à la théorie algébrique des nombres, mais aussi à la géométrie algébrique, qui est actuellement développée de manière intensive. Mais le grand théorème sous sa forme générale n'a pas encore été prouvé. On est donc en droit d'attendre ici l'émergence d'idées et de méthodes nouvelles. Auteur : Samin D.K.
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