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DÉCOUVERTES SCIENTIFIQUES LES PLUS IMPORTANTES
Théorème fondamental de l'algèbre. Histoire et essence de la découverte scientifique
Annuaire / Les découvertes scientifiques les plus importantes « Le théorème fondamental de l'algèbre sous forme d'énoncé : Une équation algébrique a autant de racines que de degré, énoncé par Girard et Descartes, - note dans son livre "Dans le monde des équations" V.A. Nikiforovsky. - Sa formulation, qui consiste dans le fait qu'un polynôme algébrique à coefficients réels se décompose en un produit de facteurs réels linéaires et quadratiques, appartient à d'Alembert et Euler. Euler l'a signalé pour la première fois dans une lettre à Nicolas Ier Bernoulli (1687-1759) datée du 1er septembre 1742. Il s'ensuit que les racines des équations algébriques à coefficients réels appartiennent au domaine des nombres complexes. La première preuve du théorème a été entreprise en 1746 par d'Alembert (1717-1783). La preuve de d'Alembert du théorème fondamental de l'algèbre était cependant analytique et non algébrique. Le mathématicien français a utilisé des concepts d'analyse qui n'avaient pas encore pris forme à cette époque, comme la série entière, l'infiniment petit. Il n'est pas surprenant que la preuve du théorème ait souffert d'erreurs et ait ensuite fait l'objet de critiques dévastatrices. gaussienpuis a été oublié. Euler franchit une étape nouvelle et significative dans la preuve du théorème fondamental de l'algèbre. Leonhard Euler (1707–1783) est né à Bâle. Après l'enseignement à domicile, Leonard, XNUMX ans, a été envoyé par son père à l'Université de Bâle pour étudier la philosophie. Entre autres matières, les mathématiques élémentaires et l'astronomie ont été étudiées dans cette faculté, enseignée par Johann Bernoulli. Bernoulli remarqua bientôt le talent du jeune auditeur et commença à étudier avec lui séparément. Après avoir obtenu une maîtrise en 1723, après avoir prononcé un discours en latin sur la philosophie de Descartes et Newton, Léonard, à la demande de son père, commence à étudier les langues orientales et la théologie. Mais il était de plus en plus attiré par les mathématiques. Euler a commencé à visiter la maison de son professeur, et entre lui et les fils de Johann Bernoulli - Nikolai et Daniel - une amitié est née qui a joué un rôle très important dans la vie de Leonard. En 1725, les frères Bernoulli sont invités à devenir membres de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg. Ils ont contribué au fait qu'Euler a déménagé en Russie. Les découvertes d'Euler, qui, grâce à sa correspondance animée, furent souvent connues bien avant leur publication, font connaître de plus en plus son nom. Sa position à l'Académie des sciences s'améliore : en 1727, il commence à travailler avec le grade d'adjoint, c'est-à-dire d'académicien junior, et en 1731, il devient professeur de physique, c'est-à-dire membre à part entière de l'Académie. En 1733, il reçut la chaire de mathématiques supérieures, auparavant occupée par D. Bernoulli, qui retourna à Bâle cette année-là. La croissance de l'autorité d'Euler trouva un reflet particulier dans les lettres de son professeur Johann Bernoulli. En 1728, Bernoulli se tourne vers « le jeune homme le plus érudit et le plus doué Leonhard Euler », en 1737 - vers « le mathématicien le plus célèbre et le plus spirituel », et en 1745 - vers « l'incomparable Leonhard Euler - le chef des mathématiciens ». En 1736 parurent deux volumes de sa mécanique analytique. La demande pour ce livre était grande. De nombreux articles ont été écrits sur diverses questions de mécanique, mais il n'y a pas encore eu de bon traité de mécanique. En 1738 paraissent en allemand deux parties d'une introduction à l'arithmétique, en 1739 une nouvelle théorie de la musique. À la fin de 1740, le pouvoir en Russie passa entre les mains de la régente Anna Leopoldovna et de son entourage. Une situation alarmante s'est développée dans la capitale. A cette époque, le roi de Prusse Frédéric II décide de faire revivre la fondation Leibniz Société des sciences de Berlin, presque inactive depuis de nombreuses années. Par l'intermédiaire de son ambassadeur à Pétersbourg, le roi invita Euler à Berlin. Euler, estimant que "la situation commençait à paraître plutôt incertaine", accepta l'invitation. À Berlin, Euler a d'abord rassemblé autour de lui une petite société scientifique, puis a été invité à l'Académie royale des sciences nouvellement restaurée et nommé doyen du département de mathématiques. En 1743, il publie cinq de ses mémoires, dont quatre sur les mathématiques. L'un de ces ouvrages est remarquable à deux égards. Il indique une manière d'intégrer des fractions rationnelles en les décomposant en fractions partielles et, en outre, la manière désormais habituelle d'intégrer des équations ordinaires linéaires d'ordre supérieur à coefficients constants est esquissée. En général, la majeure partie des travaux d'Euler est consacrée à l'analyse. Euler a tellement simplifié et complété de grandes sections de l'analyse des infinitésimaux, de l'intégration des fonctions, de la théorie des séries, des équations différentielles, qui avaient déjà commencé avant lui, qu'elles ont acquis à peu près la forme qui leur reste en grande partie derrière elles jusqu'à présent. jour. Euler a également ouvert un tout nouveau chapitre de l'analyse, le calcul des variations. Cette initiative fut bientôt reprise par Lagrange et une nouvelle science fut formée. La preuve d'Euler du théorème fondamental de l'algèbre a été publiée en 1751 dans l'ouvrage "Enquêtes sur les racines imaginaires des équations". Euler a effectué la preuve la plus algébrique du théorème. Plus tard, ses idées principales ont été répétées et approfondies par d'autres mathématiciens. Ainsi, les méthodes d'étude des équations ont d'abord été développées par Lagrange, puis sont devenues partie intégrante de la théorie de Galois. Le théorème principal était que toutes les racines de l'équation appartiennent au domaine des nombres complexes. Pour prouver cette position, Euler a établi que tout polynôme à coefficients réels peut être développé en un produit de facteurs réels linéaires ou quadratiques. Valeurs de nombres qui ne sont pas réels, "Euler a appelé imaginaire", écrit Nikiforovsky, "et a souligné qu'ils sont généralement considérés comme ceux qui donnent des nombres réels par paires en somme et produit. Par conséquent, s'il y a 2 m imaginaires racines, alors cela donnera m quadratique réel de facteurs dans la représentation polynomiale. Euler écrit : « Par conséquent, on dit que toute équation qui ne peut pas être factorisée en facteurs premiers réels a toujours des facteurs réels du second degré. Cependant, personne, autant que je sache, n'a encore prouvé assez rigoureusement la vérité de cette opinion ; Je vais donc essayer de lui donner une preuve qui couvre tous les cas sans exception." Le même concept était tenu par Lagrange, Laplace et quelques autres disciples d'Euler. Gauss n'était pas d'accord avec elle. Euler a formulé trois théorèmes qui découlent des propriétés des fonctions continues. 1. Une équation de degré impair a au moins une racine réelle. S'il y a plus d'une de ces racines, alors leur nombre est impair. 2. Une équation de degré pair a soit un nombre pair de racines réelles, soit n'en a pas du tout. 3. Une équation de degré pair, dont le terme libre est négatif, a au moins deux racines réelles de signes différents. Suite à cela, Euler démontra des théorèmes sur la décomposabilité en facteurs réels linéaires et quadratiques de polynômes à coefficients réels... Lors de la démonstration du théorème principal, Euler a établi deux propriétés des équations algébriques: 1) une fonction rationnelle des racines de l'équation, qui prend des valeurs différentes pour toutes les permutations possibles des racines A, satisfait une équation de degré A, les coefficients dont sont exprimés rationnellement en termes de coefficients de l'équation donnée ; 2) si la fonction rationnelle des racines de l'équation est invariante (ne change pas) par rapport aux permutations des racines, alors elle est rationnellement exprimée en termes de coefficients de l'équation d'origine. PS Laplace, dans des cours de mathématiques en 1795, à la suite d'Euler et de Lagrange, admet la factorisation d'un polynôme. En même temps, Laplace prouve qu'ils seront réels. Ainsi, Euler, Lagrange et Laplace ont construit la preuve du théorème fondamental de l'algèbre sur l'hypothèse de l'existence d'un champ de factorisation d'un polynôme. Un rôle particulier dans les preuves du théorème principal appartient au "roi des mathématiciens" Gauss. Carl Friedrich Gauss est né (1777-1855) à Brunswick. Il a hérité d'une bonne santé des parents de son père et d'une intelligence brillante des parents de sa mère. À l'âge de sept ans, Karl Friedrich entre à l'école populaire Catherine. En 1788, Gauss s'installe au gymnase. Toutefois, il n’enseigne pas les mathématiques. Les langues classiques sont étudiées ici. Gauss aime étudier les langues et fait de tels progrès qu'il ne sait même pas ce qu'il veut devenir - mathématicien ou philologue. Gauss est connu à la cour. En 1791, il fut présenté à Karl Wilhelm Ferdinand, duc de Brunswick. Le garçon visite le palais et divertit les courtisans avec l'art de compter. Grâce au patronage du duc, Gauss put entrer à l'université de Göttingen en octobre 1795. Au début, il écoute des cours de philologie et n'assiste presque jamais aux cours de mathématiques. Mais cela ne veut pas dire qu’il n’étudie pas les mathématiques. En 1795, Gauss se passionne pour les nombres entiers. À l'automne de la même année, Gauss s'installe à Göttingen et avale littéralement la littérature qui tombe entre ses mains pour la première fois : les œuvres d'Euler et de Lagrange. "Le 30 mars 1796, le jour du baptême créateur vient pour lui. - écrit F. Klein, - Gauss s'est déjà engagé depuis un certain temps à regrouper les racines à partir de l'unité sur la base de sa théorie des racines "primordiales". Et puis un matin, en se réveillant, il réalise soudain clairement et distinctement que la construction d'un dix-sept-gon découle de sa théorie... Cet événement marque un tournant dans la vie de Gauss. Il décide de se consacrer non pas à la philologie, mais exclusivement aux mathématiques." L'œuvre de Gauss devient pendant longtemps un exemple inaccessible de découverte mathématique. L'un des créateurs de la géométrie non euclidienne, Janos Bolyai, l'a qualifié de « découverte la plus brillante de notre temps, voire de tous les temps ». Seulement, il était difficile de comprendre cette découverte ! Grâce aux lettres adressées à la patrie du grand mathématicien norvégien Abel, qui a prouvé l'insolvabilité de l'équation du cinquième degré en radicaux, nous connaissons le chemin difficile qu'il a parcouru en étudiant la théorie de Gauss. En 1825, Abel écrit depuis l'Allemagne : « Même si Gauss est le plus grand génie, il ne s'est évidemment pas efforcé que tout le monde comprenne cela d'un coup... » Le travail de Gauss inspire Abel à construire une théorie dans laquelle « il y a tant de merveilleux théorèmes auxquels il croit simplement. Il ne fait aucun doute que Gauss a également influencé Galois. Gauss lui-même a gardé un amour touchant pour sa première découverte de la vie. Le 30 mars 1796, jour de la construction de l'hexagone régulier de dix-sept, commence le journal de Gauss - une chronique de ses remarquables découvertes. La prochaine entrée dans le journal est apparue le 8 avril. Il rendait compte de la preuve du théorème de la loi quadratique de la réciprocité, qu'il appelait « d'or ». Des cas particuliers de cette affirmation ont été prouvés Ferme, Euler, Lagrange. Euler a formulé une conjecture générale dont la preuve incomplète a été donnée par Legendre. Le 8 avril, Gauss a trouvé une preuve complète de la conjecture d'Euler. Cependant, Gauss ne connaissait pas encore le travail de ses grands prédécesseurs. Il a parcouru seul tout le chemin difficile vers le "théorème d'or" ! Gauss a fait deux grandes découvertes en seulement 10 jours, un mois avant ses 19 ans ! L'un des aspects les plus surprenants du « phénomène Gauss » est que dans ses premiers travaux il ne s'appuya pratiquement pas sur les acquis de ses prédécesseurs, retrouvant en peu de temps ce qui avait été fait en théorie des nombres en un siècle et demi par les travaux des plus grands mathématiciens. En 1801, les fameuses "Recherches arithmétiques" de Gauss sortent. Cet ouvrage volumineux (plus de 500 pages grand format) contient les principaux résultats de Gauss. Les "études arithmétiques" ont eu un impact énorme sur le développement ultérieur de la théorie des nombres et de l'algèbre. Les lois de réciprocité occupent encore l'une des places centrales de la théorie algébrique des nombres. À Braunschweig, Gauss n'a pas eu l'occasion de se familiariser avec la littérature nécessaire au travail sur les Recherches arithmétiques. Par conséquent, il se rendait souvent à Helmstadt, à proximité, où se trouvait une bonne bibliothèque. Ici, en 1798, Gauss prépare une dissertation consacrée à la preuve du théorème fondamental de l'algèbre. Gauss a laissé quatre preuves du théorème fondamental de l'algèbre. Il consacra sa thèse de doctorat, publiée en 1799, à la première preuve, intitulée "Une nouvelle preuve du théorème que toute fonction algébrique rationnelle entière d'un invariable peut être décomposée en facteurs réels du premier et du second degré". Gauss n'a pas manqué de prêter attention aux lacunes d'Euler, et surtout, il a critiqué la formulation même de la question, alors que l'existence des racines des équations était supposée à l'avance. La première preuve de Gauss, comme celle de d'Alembert, était analytique. Dans la deuxième preuve, réalisée par lui en 1815, le célèbre mathématicien revient à nouveau sur la critique de la preuve du théorème fondamental de l'algèbre au moyen du raisonnement, lorsque l'existence des racines de l'équation est supposée à l'avance. Gauss explique dans le paragraphe introductif la nécessité d'une nouvelle preuve : "Bien que la preuve de la factorisation d'une fonction rationnelle entière, que j'ai donnée dans un mémoire publié il y a 16 ans, ne laisse rien à désirer en termes de rigueur et de simplicité, elle Il faut espérer que les mathématiciens ne jugeront pas indésirable que je revienne encore sur cette question extrêmement importante et entreprenne la construction d'une seconde preuve non moins rigoureuse, partant de principes complètement différents, sur des principes purement analytiques. Il est à noter que ce que Gauss appelle la méthode analytique s'appelle aujourd'hui la méthode algébrique. Pour la preuve, Gauss a utilisé la construction du champ d'expansion d'un polynôme. Plus de soixante ans se sont écoulés lorsque L Kronecker a également amélioré et développé la méthode de Gauss pour construire le champ d'expansion de tout polynôme. Par la suite, Gauss a donné deux autres preuves du théorème fondamental de l'algèbre. Le quatrième et dernier fait référence à 1848. Le résultat principal des preuves du théorème fondamental de l'algèbre par Euler, Lagrange et Gauss, I.G. Bashmakov, était que "les preuves algébriques du théorème fondamental de l'algèbre sont précieuses précisément parce que pour leur mise en œuvre de nouvelles méthodes profondes de l'algèbre elle-même ont été développées et que les forces des méthodes et techniques déjà créées ont été testées". Auteur : Samin D.K.
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